할선법 Secant Method

미분을 안 해도 됨
구간 안에 근이 존재하지 않아도 된다(초기값 2개)
할선과 𝑥 축과의 교점을 새로운 점으로 하여 근에 접근

할선(secant): 두 점을 이은 직선
접선, tangent, 법선 normal

Newton-Raphson 방법보다 수렴이 더 빠른 경우도 있다.
but 문제 동일(기울기를 쓰기 때문에 수렴 안 할 수도 있다)

오차를 구하기 위해 앱실론을 사용(상대오차)
eps, error

$$x^{(k+1)} =x^{(k)} - f(x^{(k)}){{x^{(k)} - x^{(k-1)}}\over{f(x^{(k)})-f(x^{(k-1)})}} $$

---

import numpy as np
def f(x):
    return 3*x-np.cos(x)-1

n = 7
xs = np.zeros(n) # 근사값
eps = np.zeros(n)
trueValue = 1.0  #해석적 방법으로 구한 참값

x0 = -3.0
x1 = 4

for k in range(n):
    x2 = x1 - f(x1) * ((x1-x0)/(f(x1) - f(x0)))
    x0 = x1
    x1 = x2
    xs[k] = x2
    
    if k >= trueValue:
        eps[k] = (xs[k]-xs[k-1])/xs[k] # *100.0
    
# 실제 근은 5.0과 1.0
print("%5s %8s %8s"%('k', 'x', 'eps'))
for k in range(n):
    print("%5d %9.4f %12.9f"%(k+1, xs[k], eps[k]))

import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib inline

x = np.linspace(-3.0, 4.0, 50) # np.linspace(2.0, 4.0, 50)
fx = f(x)

#fig, ax = plt.subplots()
for i in range(1, n):
    plt.plot(x, fx) #기본그래프
    plt.plot(xs, f(xs), 'xr')
    plt.plot(xs[i-1:i+1], f(xs[i-1:i+1]), 'g')
    plt.grid()
    plt.pause(0.5)

plt.show()

f(xs)

array([ 3.84000000e+00, -5.87755102e+00,  1.79812695e+00,  4.93706449e-01,
       -7.88037095e-02,  2.56829070e-03,  1.25303412e-05, -2.01200123e-09,
        0.00000000e+00,  0.00000000e+00])